Cet éminent réalisateur tchèque a étudié à la Faculté de génie civil, avant d’être assistant de réalisateur dans le film « L’Héritage » de Věra Chytilová, l’une des réalisatrices de ce que l’on a nommé la Nouvelle vague tchèque. Par la suite, Sláma a étudié la réalisation à la FAMU. Pour son premier film « Divoké včely (Abeilles sauvages) » il a reçu plusieurs prix, entre autres celui WPRO Tiger Awards à IFF de Rotterdam, le Prix du Meilleur premier film à Pilsen ainsi qu’à Sain Francisco et le Prix de l’association des ciné-clubs tchèques.

C’est avec son film suivant, « Štěstí (Something like Happiness) » qu’il a remporté le plus grand succès. Il a gagné sept Lions tchèques (entre autres du meilleur film, de la réalisation et du scénario), avec ce même film il a remporté des prix au festival de San Sebastian, Athènes, Montréal…etc. Il a continué par la réalisation du film « Venkovský učitel (Country teacher) » et « Čtyři slunce (Les quatre soleils) ». Ce dernier a eu sa première mondiale au prestigieux Festival de Sundance.

Par la suite, il a réalisé quelques épisodes des séries télévisées appréciées des spectateurs, comme par exemple « Tonda Blaník », « Nevinné lži (Mensonges innocents) » et « Život a doba soudce A. K (La vie et le temps du juge A.K.) ». Actuellement, Sláma dirige le département de réalisation à la FAMU. Il vit avec son épouse dans une ferme en Bohême du Sud où ils élèvent leurs quatre enfants.